中位线的性质:中位线的性质

1.中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .梯形中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L.l=（a+b）÷2已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积．S梯=lh中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

2.三角形中位线性质

(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段． (2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段． (3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线． 2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． (2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 例1 如图2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，F，EF，EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出△ABC的高AD及底边BC的长． 解 由已知，F分别是AB，BD的中点，EF是△ABD的一条中位线，所以 由条件AD+EF=12(厘米)得 EF=4(厘米)，由于E，G分别是AB，AC的中点，所以EG是△ABC的一条中位线，所以 BC=2EG=2×6=12(厘米)，AD是BC上的高，所以 例2 如图 2-54 所示．△ABC中，∠C的平分线BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H． (1)求证：(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG，从而G是AM的中点；延长AH交BC于N，H是AN的中点，从而GH就是△AMN的中位线，所以GH‖BC，利用△ABC的三边长可求出GH的长度． (1)证 分别延长AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以 △ABG≌△MBG(ASA)． 从而，G是AM的中点．同理可证 △ACH≌△NCH(ASA)，H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线，HG‖MN，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以 AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米． 又BC=18厘米，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)． 从而 MN=18-4-9=5(厘米)，我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线“则这条平分线也是对边的中线，等腰三角形三线合一定理“的下述逆命题也是正确的”若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线：则这个三角形是等腰三角形“这条平分线垂直于对边，．同学们不妨自己证明． (3)从本题的证明过程中，∠C的平分线“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”∠B，∠C的外角平分线“结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证． 例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点，四边形BCPQ是平行四边形，A′，D′分别是AP，QA的中点．求证，A′C′=B′D′． 分析 由于A′，B′：C′，D′分别是四边形APBQ的四条边AP，PB，BQ。四边形四边中点连线是平行四边形”对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的． 例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中，F分别是AC，BD的中点．求证：容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，取AD中点． 证 取AD中点G，在△ACD中，EG是它的中位线(已知E是AC的中点)，由F，G分别是BD和AD的中点，FG是△ABD的中位线，③ 例5 如图2-59所示．梯形ABCD中，AB‖CD，E为BC的中点，AD=DC+AB．求证：DE⊥AE． 分析 本题等价于证明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°． 在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下，添梯形的中位线作为辅助线，该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半，则问题获解． 证 取梯形另一腰AD的中点F，则EF是梯形ABCD的中位线，所以 因为AD=AB+CD，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而 ∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE． 例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l，E，F分别是三边的中点，EE1都垂直l于A1，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证． 证 连接EF，ED．由中位线定理知，它的对角线AE，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，D为AB的中点，E为AC上一点，AE=2CE，BE交于O点，OE=2厘米．求BO的长． 2．已知△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的长． 3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，F，G分别是AB，AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD． 4．如图2-61所示．在四边形ABCD中，AD=BC，F分别是CD，AB的中点，BC。

3.中位线的定义和性质和特点、

(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 1)三角形中位线定理：

4.中位线有什么性质？

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .梯形中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积。

5.三角形中位线的性质是什么？

1、平行于三角形的第三条边2、长度等于第三条边的一半

6.三角形中位线的性质是什么？

1、平行于三角形的第三条边2、长度等于第三条边的一半

7.中点的性质

把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。1、等腰三角形三线合一（底边中点）2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。3、三角形的中位线（三角形两边的中点的连线）平行且等于第三边的一半。过线段的中点，且垂直于此线段。中垂线上的点到线段两端的距离相等。扩展资料到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。已知直线MN上任意一点P，MN是AB的垂直平分线。