线性空间:为什么线性子空间不要求0，线性空间要求0呢

1.为什么线性子空间不要求0，线性空间要求0呢

线性空间V必包含0向量，同样线性子空间W也要求必包含0向量，首先是要求非空，即里面至少有一个元素，如元素a,要求对加法和数量乘法封闭。这就保证了子集W中必有0向量存在。若集合对数乘封闭，则0*a=0依然是该集合W中的元素。

2.线性空间和欧氏空间的区别和联系

线性空间中的向量对应于欧几里得平面中的点，在线性空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。一、指代不同1、线性空间：解析几何里引入向量概念后，形成了与域相联系的向量空间概念。是一个特别的度量空间，使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流行的定义上发挥了作用。二、特性不同1、线性空间：实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。三、扩展不同1、线性空间：在P与V的元素间定义了一种运算，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα。

3.为什么复线性空间一定是实线性空间

线性空间与线性变换是处理类似问题的一个统一模式。对函数的求导数是一个线性变换，平面上向量的旋转是一个线性变换，2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则，任何其它的概念与性质都是由这些导出的。线性变换是和这两个运算相容的映射或变换：先运算后变换与先变换后运算的结果一致。线性变换可以等同于矩阵。线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。4. 线性变换是线性映射的特例。线性映射是比较两个线性空间的主要工具，最基本的问题是如何判断两个线性空间同构，它们之间是否存在保持运算的双射。5. 两个代数结构之间的保持运算的映射，称为同态（更一般的概念是对象之间的态射，线性空间是非常基本的代数结构，线性映射正是这种代数结构之间的同态。6. 线性变换研究的基本问题是：化简问题。线性变换由它在一组基上的取值所唯一确定。使得线性变换在这组基下的矩阵具有简单的形式，简单的矩阵一般指对角矩阵（两个对角矩阵乘积可交换）。

4.如何看待线性空间和线性变换的重要性

1. 从应用的角度考虑，线性空间与线性变换是处理类似问题的一个统一模式。比如，对函数的求导数是一个线性变换，平面上向量的旋转是一个线性变换，等等。2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则，任何其它的概念与性质都是由这些导出的。线性变换是和这两个运算相容的映射或变换：先运算后变换与先变换后运算的结果一致。3. 在某种意义下，线性变换可以等同于矩阵。线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。4. 线性变换是线性映射的特例。线性映射是比较两个线性空间的主要工具，最基本的问题是如何判断两个线性空间同构，即，它们之间是否存在保持运算的双射。5. 两个代数结构之间的保持运算的映射，称为同态（更一般的概念是对象之间的态射，这是范畴与函子的语言）。线性空间是非常基本的代数结构，线性映射正是这种代数结构之间的同态。6. 线性变换研究的基本问题是：化简问题。线性变换由它在一组基上的取值所唯一确定。化简是指：如何选取适当的基，使得线性变换在这组基下的矩阵具有简单的形式，简单的矩阵一般指对角矩阵（两个对角矩阵乘积可交换）。这就引出特征值与特征向量的概念以及一些列的问题。7. 要求特征值，就要求多项式的根，这就是高等代数中讨论多项式理论的目的之一；要求特征向量，就要求线性方程组的解，这是线性方程组的主要作用。这样又引起一系列的问题，比如，矩阵、行列式等等。8. 作为最基础的代数结构，向量空间是构造其它更复杂的代数结构的基石。就像盖高楼大厦一样，向量空间只相当于其框架结构。

5.向量空间维数和向量的维数的区别

向量空间维数通过求解构建向量空间的向量组的秩可得到，例如有一向量空间表述为点集合{ a，该向量组的秩＝1，∴是一维向量空间。

6.怎样算构成实线性空间

V是实线性空间，需要满足一下8条：y,(x+y)+z=x+(y+z)2、存在0∈V，使得对任意x∈V，0+x=x+0=x3、对于任意x∈V，存在y∈V，使得x+y=y+x=0，记y=-x4、对于任意x,x+y=y+x5、对于任意λ,有λ(μx)=(λμ)x6、存在1∈V，使得对任意x∈V，有1v=v7、对于任意λ∈R,x,

7.高等代数里，线性空间的子空间的加与并有什么区别？

两个子空间的加的话得到的结果还是一个线性空间。