垂心的性质:三角形的重心，垂心，外心，内心的定义及性质分别是什么

1.三角形的重心，垂心，外心，内心的定义及性质分别是什么

2.垂心是什么？

垂心是三角形的三条高线的交点。如果三角形ABC是等腰三角形，那么过A点的高线与过A点的中线和角平分线重合。直角三角形的垂心是斜边所对的顶点。如果三角形ABC是直角三角形，三角形的垂心就是点C。锐角三角形的垂心在三角形内部；钝角三角形的垂心在三角形外部。三角形的重心G、外心O和垂心H共线（称为欧拉线），并且重心是连接外心和垂心的线段的一个三等分点：HG=2GO扩展资料垂心的垂足三角形三角形abc是三角形ABC的垂心的垂足三角形，它的内心正是ABC的垂心H.过平面上一点P分别做垂直于三角形每条边的垂线，这三个点连成的三角形称为点P的垂足三角形。垂心H的垂足三角形是H1H2H3。而三角形A1A2A3的三个顶点是三角形H1H2H3的三个旁心。锐角三角形A1A2A3的所有内接三角形中，有最小周长的是垂心H的垂足三角形H1H2H3。如果一束光从三角形的某一个高线垂足H1、H2或H3出发沿着三角形H1H2H3的边的方向射出，也就是三角形H1H2H3[2]。这个性质仅对于垂心的垂足三角形成立：

3.垂心的性质

三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF,垂心为H,p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.4、 △ABC中,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).6、 △ABC,△ACH的外接圆是等圆.7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.8、 三角形任一顶点到垂心的距离,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,

4.三角形的垂心有什么性质

三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF,其中D、E、F为垂足,垂心为H,角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、 垂心H关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上.4、 △ABC中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组).6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圆是等圆.7、 在非直角三角形中,过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍.9、 设O,H分别为△ABC的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.　10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短.12、 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上.

5.三角形垂心的性质

1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；

6.高考，三角形的垂心，中心分别指什么，有什么性质

三角形的重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;2垂心:三角形三条高的交点;

7.三角形重心和垂心，中心的性质，概念（详细）

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。没听过三角形的中心。三角形五心歌（重外垂内旁） 三角形有五颗心，重外垂内和旁心，交点位置真奇巧，交点命名为“重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点． 此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关键． 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，角角都有平分线，三线相交定共点，可作三角形内切圆，此圆圆心称，三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质，1、三角形三个顶点。三个垂足：垂心这7个点可以得到6个四点圆，2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线。