闭区间套定理:叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界

1.叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界

闭区间套定理：设闭区间{[an，bn]}满足：[an，bn]?[an+1，bn+1]（n∈N+），limn→∞(bn?an)＝0，则存在唯一的ξ，使ξ∈[an，bn]（n∈N+）且limn→∞an＝limn→∞bn＝ξ．设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，则存在一子区间[a1，b1]，使f在[a1，b1]无界，再二等分[a1，b1]，则同样可以得到一个子区间[a2，b2]，使f在[a2，b2]上无界，如此无限下去得到一闭区间套{[an，bn]}，f在任意[an，bn]无界．显然，bn?an＝b?a2n→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[an，bn]（n∈N+）．由f在ξ的连续性知：存在δ＞0，使f在[a，b]∩[U（ξ，δ）]有界，而n充分大时，[an，bn]?U（ξ，δ），这与f在[an，bn]上无界矛盾．

2.如何利用闭区间套定理来证明单调有界定理

设S是有上界集合，取a∈S构造区间[a,定义性质P：满足存在x1∈E，x1∈S且存在x2∈E，用二等分法构造区间套：b]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质P，闭区间上连续函数的三大性质：最大值定理，一致连续性定理，而且它们的证明都是用实数连续性定理证明的。闭区间套定理由于具有较好的构造性，因此在实数相关的命题中有广泛的应用，故闭区间套定理不仅有重要的理论价值，例如用来证明单调有界定理，闭区间上的连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在性、一致连续性等），拉格朗日中值定理等微分学上常用的定理。

3.闭区间套定理的一个问题

区间套里每个区间都是确定的，比如[ai,bi](脚标i为一个正整数）,它包含了无穷多个点，b]内。‘只有唯一一个点属于[an,bn],设这点为c，在[a,b]任选一点d≠c，则总能找到足够大的n，使得区间[an,

4.为什么开区间不适合区间套定理 主要是这样:我看了一下教材，我用的是复旦大学的数学分析，然后他上面的

闭区间套定理：bn]}满足：bn+1]（n∈N+），limn→∞(bn?则存在唯一的ξ，使ξ∈[an，bn]（n∈N+）且limn→∞an＝limn→∞bn＝ξ．设f是[a，b]上的连续函数，下面用反证法证明f在[a，b]有界．反设f在[a，b]无界，二等分区间[a，b]，则存在一子区间[a1，则同样可以得到一个子区间[a2，如此无限下去得到一闭区间套{[an，bn]无界．显然，an＝b?a2n→0(n→∞)，由闭区间套定理可以推知ξ∈[an。

5.用闭区间套定理证明下面的定理

在a,b区间二等分，中点c假设a,c满足条件，令a,c区间为a1,2（a+b），bn，bn属于an+1,bn+1且bn-an的极限等于零，构成区间套，所以存在ξ属于a,

6.闭区间套定理的介绍

闭区间套定理:bn ]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an,

7.什么是区间套定理？

什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列。