双曲几何:黎曼几何为什么没有平行线

1.黎曼几何为什么没有平行线

在黎曼几何学中不承认平行线的存在，黎曼几何的模型是一个经过适当“黎曼几何内容：黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的，在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，◆ 曲率为正常数．黎曼指出：前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼的这第三种几何就是用命题“代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“是另一种全新的非欧几何，这就是如今狭义意义下的黎曼几何，它是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。该文于黎曼去世两年后的1868年发表。黎曼几何应用近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。

2.什么是欧氏几何，黎曼几何，罗氏几何？拜托各位大神

欧氏几何 一、欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，完成了数学史上的光辉著作《 几何原本》。标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。二、一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。具有自明性并被公认下来的命题称为公理，同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、 定义为要素，先证明了第一个命题。证明了大量的命题。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系 统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。欧几里德的《几何原本》 对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。三、欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特征。而作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》，用现代的标准来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，欧几里德对这些都做了定义，但定义本身含混不清。其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观来完成。即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》 出版时得到了完善。希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何 体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。------------------------------ ------------------------------ -------- 黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱 导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，就是椭圆几何，而当a＜0时为双曲几何。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R. 李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概 念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H. 霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E. 嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。A. 爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论—— 广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（ 里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓 扑研究开创了先河。黎曼几何的研究从局部发展到整体，黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、 代数拓扑学等学科互相渗透，在现代数学和理论物理学中有重大作用。------------------------------ ------------------------------ -------- 罗氏几何 罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分 散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理用“至少可以做两条直线和这条直线平行”由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。同一直线的垂线和斜线相交。过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

3.怎样理解罗氏几何？

双曲几何，也称罗巴切夫斯基几何，波利亚-罗巴切夫斯基几何或罗氏几何，是一种独立于欧几里得几何的一种几何公理系统。双曲几何的公理系统和欧氏几何的公理系统不同之处在于欧几里得几何的“（又称平行公理。

4.数学大侠帮帮忙，什么是欧氏几何，黎曼几何，罗氏几何

罗氏几何跟黎曼几何都属于非欧几何，罗氏几何研究的是空间曲率为负数的双曲几何，黎曼几何研究的是空间曲率为正数的椭圆几何，曲率为零则是我们平时学习的欧氏几何，我们的宇宙是正曲率的也就是黎曼几何。

5.谁能将一下罗巴切夫斯基几何到底干啥用的，百度百科也没具体介绍，只讲了黎曼几何与相对论是关联的，那罗

罗氏几何跟黎曼几何都属于非欧几何，罗氏几何研究的是空间曲率为负数的双曲几何，黎曼几何研究的是空间曲率为正数的椭圆几何，曲率为零则是我们平时学习的欧氏几何，它们共同构成了完整的几何学，由于万有引力的制约，我们的宇宙是正曲率的也就是黎曼几何，罗氏几何目前只有数学上的意义，但随着物理学的深入，罗氏几何也终将占有自己的一席之地

6.谁能将一下罗氏几何，具体应用在哪方面

它在天体理论有着广泛的应用

7.罗巴切夫斯基几何的双曲几何的模型

双曲几何的公理系统有几种直观的模型。双曲几何中的非定义概念（元名）在各种模型中被定义为具体的对象，使得双曲几何的公理被这种模型满足。平行线是公理几何中非常重要的概念。如果两条直线没有交点，那么它们称为平行。在欧氏几何中，平行线的性质本质上由平行公理刻画。它等价于如下陈述：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行“而在双曲几何中”平行线变多了。过直线外一点至少有两条不同的直线和已知直线平行。我们可以证明过这一点有无穷多条平行线“在喀山大学树立起了世界上第一个为数学家雕塑的塑像，这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始人——罗巴切夫斯基（Никола́。非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，不仅带来了近百年来数学的巨大进步。而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社会的承认和赞美。使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认，罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的，欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一。它是由古希腊学者最先提出来的，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》。这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范，欧几里得为推演出几何学的所有命题，一开头就给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(只应用于几何学)。作为逻辑推演的前提，《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都是很满意，唯独对第五个公设（即平行公理）提出了质疑，第五公设是论及平行线的。如果一直线和两直线相交。且所构成的两个同侧内角之和小于两直角，它们一定在那两内角的一侧相交，数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句的长度，还是在内容上都不大像是个公设。而倒像是个可以证明的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明，才不得不把它放在公设之列，为了给出第五公设的证明，完成欧几里得没能完成的工作，他们几乎尝试了各种可能的方法，罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的，开始他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中。就记有他在1816～1817学年度在几何教学中给出的一些证明，很快他便意识到自己的证明是错误的，前人和自己的失败从反面启迪了他。使他大胆思索问题的相反提法，可能根本就不存在第五公设的证明。他便调转思路：着手寻求第五公设不可证的解答。也是与传统思路完全相反的探索途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个崭新的几何世界，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢，又是怎样从中发现新几何世界的呢。原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法——反证法，这种反证法的基本思想是？首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统“并由此展开逻辑推演”首先假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，在新公理系统的推演过程中一定会出现逻辑矛盾。罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对。参加2月23日学术公议的全是数学造诣较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫，有后来成为科学院院士的古普费尔，以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼。罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家。这位年轻的教授在简短的开场白之后，接着说的全是一些令人莫名其妙的话，而且随着边长增大而无限变小，锐角一边的垂线可以和另一边不相交，这些命题不仅离奇古怪，与欧几里得几何相冲突，而且还与人们的日常经验相背离。报告者却认真地、充满信心地指出，它们属于一种逻辑严谨的新几何，和欧几里得几何有着同等的存在权利。这些古怪的语言，竟然出自一个头脑清楚、治学严谨的数学家教授之口，不能不使与会者们感到意外。他们先是表现现一种疑惑和惊呆，便流露出各种否定的表情。宣讲论文后，罗巴切夫斯基诚恳地请与会者讨论，提出修改意见。谁也不肯作任何公开评论，会场上一片冷漠。一个具有独创性的重大发现作出了，那些最先聆听到发现者本人讲述发现内容的同行专家，却因思想上的守旧，不仅没能理解这一发现的重要意义，反而采取了冷谈和轻慢的态度，这实在是一件令人遗憾的事情。系学术委员会委托西蒙诺夫、古普费尔和博拉斯曼组成三人鉴定小组，对罗巴切夫斯基的论文作出书面鉴定。他们的态度无疑是否定的，但又迟迟不肯写出书面意见，以致最后连文稿也给弄丢了。罗巴切夫斯基的首创性论文没能引起学术界的注意和重视，论文本身也似石沉大海，但他并没有因此灰心丧气，而是顽强地继续独自探索新几何的奥秘。他又撰写出一篇题为《几何学原理》的论文。这篇论文重现了第一篇论文的基本思想，并且有所补充和发展。罗巴切夫斯基已被推选为喀山大学校长，可能出自对校长的“《喀山大学通报》全文发表了这篇论文，喀山大学学术委员会把这篇论文呈送彼得堡科学院审评，科学院委托著名数学家奥斯特罗格拉茨基院士作评定。奥斯特罗格拉茨基是新推选的院士。曾在数学物理、数学分析、力学和天体力学等方面有过卓越的成就，在当时学术界有很高的声望，就是这样一位杰出的数学家，也没能理解罗巴切夫斯基的新几何思想，甚至比喀山大学的教授们更加保守，奥斯特罗格拉茨基则使用极其挖苦的语言，对罗巴切夫斯基作了公开的指责和攻击，他在给科学院的鉴定书中一开头就以嘲弄的口吻写道，作者旨在写出一部使人不能理解的著作“他已经达到了自己的目的，对罗巴切夫斯基的新几何思想进行了歪曲和贬低。最后粗暴地断言”罗巴切夫斯基校长的这部著作谬误连篇。因而不值得科学院的注意：这篇论文不仅引起了学术界权威的恼怒“而且还激起了社会上反动势力的敌对叫嚣，以匿名在《祖国之子》杂志上撰文。公开指名对罗巴切夫斯基进行人身攻击”针对这篇污辱性的匿名文章，罗巴切夫斯基撰写了一篇反驳文章。但《祖国之子》杂志却以维护杂志声誉为由，将罗巴切夫斯基的文章扣压下来，一直不予发表。罗巴切夫斯基极为气愤。罗巴切夫斯基开创了数学的一个新领域，但他的创造性工作在生前始终没能得到学术界的重视和承认。在日记和与朋友的往来书信中。当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作《平行线理论的几何研究》后，他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”并下决心学习俄语，以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作，却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白，也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论，他积极推选罗巴切夫斯基为哥廷根皇家科学院通讯院士；在评选会和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中，对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献－－创立非欧几何却避而不谈，高斯凭任在数学界的声望和影响。完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力，促进学术界对非欧几何的公认，在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气，高斯的沉默和软弱表现。不仅严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度，而且客观上也助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击，晚年的罗巴切夫斯基心情更加沉重。他不仅在学术上受到压制，而且在工作上还受到限制，教授任职的最高期限是30年，1846年罗巴切夫斯基向人民教育部提出呈文，请求免去他在数学教研室的工作，并推荐让位给他的学生波波夫，人民教育部早就对不顺从他们意志办事的罗巴切夫斯基抱有成见。但又找不到合适的机会免去他在喀山大学的校长职务，罗巴切夫斯基辞去教授职务的申请正好被他们用以作为借口。不仅免去了他主持教研室的工作，被迫离开终生热爱的大学工作。使罗巴切夫斯基在精神上遭到严重打击，他对人民教育部的这项无理决定。表示了极大的愤慨，家庭的不幸格外增加了他的苦恼。他最喜欢的、很有才华的大儿子因患肺结核医治无效死去。他的身体也变得越来越多病。伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程，他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩，可是谁也不提他的非欧几何研究工作，人们还普遍认为非欧几何纯属，罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年”他从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。为了扩大非欧几何的影响，争取早日取得学术界的承认。他还用法文、德文发行了自己的著作。