反函数的导数:原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系

1.原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系

首先必须明白是什么样的反函数。我们一般设一个原来的函数y=f（x）。那么反函数就设为y=f^-1（x），这两个图像关于y=x这条直线对称。但是这样的原来函数和反函数之间的导数，谈不上什么关系。必须是写成x=f^-1（y）形式的反函数，其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。在同一个x-y坐标系内，原函数y=f（x）和反函数x=f^-1（y）是同一个图像，那么对于函数上同一个点（x0，y0）点处的切线，当然就是同一条切线。在原函数y=f（x）中，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。而反函数x=f^-1（y）中，我们求的导数，从几何意义上说，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线，在同一个点（x0，y0）处是同一条切线。x轴正半轴转到切线的角度”y轴正半轴转到切线的角度”相加，那么这两个角的正切当然就互为倒数。原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。扩展资料：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。上标"−1"指的并不是幂。在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；则称y=f(x)在D上严格单调递减。证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。对D中任一x'<任一x'都有y''>总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。任取f(D)中的两点y1和y2，而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，且x1、x2∈D。根据f的严格单增性，有y1≥y2。

2.关于反函数求导法则的理解。我不理解反函数的导数等于直接函数导数的倒数中的反函数的定义。具体看照片。

令y=f(x)为原函数,那么y'=f'(x)也就是f(x)的导数.那么这样变换,由于x=[f^(-1)(f(x))]'^(-1)(f(x));(x)*f'^(-1)(y)对于函数的反函数;也就是把反函数作用的对象变为x,这样1=f',(x)*f^(-1)(x)从而结论得证.反函数的求导法则是;反函数的导数是原函数导数的倒数：其反函数是y=x1/3，其导数为y'，=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛;其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数，所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3。y写成x而已，y=x1/3的导函数应该这样求 y‘=1/(y3)'：=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3);=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数，我们再以反三角函数来作为例子。求y=arcsinx的导函数：函数y=arcsinx的反函数为x=siny。

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4.反函数求导法则

反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x)。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。反函数的性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)。

5.互为反函数的两个函数的导数什么关系

反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。扩展资料：反函数的性质（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（7）反函数是相互的且具有唯一性；（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；参考资料：百度百科-反函数

6.反函数求导

反函数的求导法则是：求y=arcsinx的导函数。函数y=arcsinx的反函数为x=siny，sin’y=1/因为x=siny，所以cosy=√1-x2。所以y‘=1/√1-x2。同理可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时。

7.如何求反函数的导数

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8.怎么理解反函数导数等于直接函数导数的导数。