广义相对论公式:爱因斯坦广义相对论公式

1.爱因斯坦广义相对论公式

广义论公式根据广义相对论中“宇宙中一切物质的运动都可以用曲率来描述，引力场实际上就是一个弯曲的时空”爱因斯坦给出了著名的引力场方程（Einstein'其中G为牛顿万有引力常数，这被称为爱因斯坦引力场方程，也叫爱因斯坦场方程。该方程是一个以时空为自变量、以度规为因变量的带有椭圆型约束的二阶双曲型偏微分方程。计算时只能得到近似解。最终人们得到了真正球面对称的准确解——史瓦兹解。加入宇宙学常数后的场方程为：广义论原理由于惯性系无法定义，爱因斯坦将相对性原理推广到非惯性系，提出了广义相对论的第一个原理：广义相对性原理。所有参考系在描述自然定律时都是等效的。这与狭义相对性原理有很大区别。在不同参考系中，一切物理定律完全等价，没有任何描述上的区别。只能说不同参考系可以同样有效的描述自然律。这就需要我们寻找一种更好的描述方法来适应这种要求。通过狭义相对论，很容易证明旋转圆盘的圆周率大于3.14。普通参考系应该用黎曼几何来描述。第二个原理是光速不变原理：光速在任意参考系内都是不变的。它等效于在四维时空中光的时空点是不动的。在三维空间中光以光速直线运动，在三维空间中光沿着弯曲的空间运动。可以说引力可使光线偏折，但不可加速光子。第三个原理是最著名的等效原理。惯性质量是用来度量物体惯性大小的，起初由牛顿第二定律定义。引力质量度量物体引力荷的大小，起初由牛顿的万有引力定律定义。它们是互不相干的两个定律。惯性质量不等于电荷，那么惯性质量与引力质量(引力荷)在牛顿力学中不应该有任何关系。然而通过当代最精密的试验也无法发现它们之间的区别，惯性质量与引力质量严格成比例(选择适当系数可使它们严格相等)。广义相对论将惯性质量与引力质量完全相等作为等效原理的内容。惯性质量联系着惯性力，引力质量与引力相联系。非惯性系与引力之间也建立了联系。那么在引力场中的任意一点都可以引入一个很小的自由降落参考系。由于惯性质量与引力质量相等，在此参考系内既不受惯性力也不受引力，可以使用狭义相对论的一切理论。初始条件相同时，等质量不等电荷的质点在同一电场中有不同的轨道，但是所有质点在同一引力场中只有唯一的轨道。等效原理使爱因斯坦认识到，引力场很可能不是时空中的外来场，是时空本身的一种性质。由于物质的存在，原本平直的时空变成了弯曲的黎曼时空。在广义相对论建立之初，惯性定律：不受力(除去引力，因为引力不是真正的力)的物体做惯性运动。在黎曼时空中，就是沿着测地线运动。测地线是直线的推广，球面的测地线是过球心的平面与球面截得的大圆的弧。但广义相对论的场方程建立后，这一定律可由场方程导出，于是惯性定律变成了惯性定理。伽利略曾认为匀速圆周运动才是惯性运动，匀速直线运动总会闭合为一个圆。这样提出是为了解释行星运动。他自然被牛顿力学批的体无完肤，然而相对论又将它复活了，行星做的的确是惯性运动，只是不是标准的匀速。广义论的验证爱因斯坦在建立广义相对论时，(1)引力红移(2)光线偏折(3)水星近日点进动。直到最近才增加了第四个验证：(4)雷达回波的时间延迟。(1)引力红移：广义相对论证明，引力势低的地方固有时间的流逝速度慢。也就是说离天体越近，天体表面原子发出的光周期变长。利用日食的机会观测，刚好在相对论实验误差范围之内。引起误差的主要原因是太阳大气对光线的偏折。最近依靠射电望远镜可以观测类星体的电波在太阳引力场中的偏折，精密测量进一步证实了相对论的结论。天文观测记录了水星近日点每百年移动5600秒，广义相对论的计算结果与万有引力定律(平方反比定律)有所偏差，这一偏差刚好使水星的近日点每百年移动43秒。(4)雷达回波实验：从地球向行星发射雷达信号，接收行星反射的信号，测量信号往返的时间。

2.广义相对论的主要内容是什么，公式是什么最好有原文

是用张量语言写成的引力论。一个物体若只受引力作用则在广义相对论看来是自由质点不受力。数学上体现在度规张量分量非常数，等价于黎曼曲率张量非零，其公式主要是引力场方程，式中Rab叫做里奇张量，为上升第四指标的黎曼曲率张量上标和第一或第二下标缩并后的结果。协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果是黎曼曲率张量和协变矢量的内积。gab叫做度规张量是该方程的待求量。

3.谁知道爱因斯坦广义相对论的公式。

上面几个回答都是狭义相对论的最基本公式，牛顿万有引力可以用引力场来描述.位于的质点感受到的引力决定于处的引力场,(3.1)参数称为引力质量,描写质点对引力场响应的强弱.当质点只受到引力作用而加速运动时,称质点作自由落体运动.例如断了线的升降机,围绕地球转动的月亮等.根据牛顿第二定律,自由落体的加速度为(3.2)参数描写质点被加速的难易程度,称为惯性质量.实验指出,引力使物体产生的加速度与物体的质量无关.这意味着对任意两个物体和有普适的比例常数(3.3)不妨令它等于1,引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数.他们严格相等在牛顿力学中没有办法解释.设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点,故他们相对惯性系没有加速度.考虑一个相对作匀加速运动的参照系.相对于,上述所有质点具有相等而且平行的加速度.静止在的观测者看来,好像参照系没有加速运动,而质点受到一个均匀引力场作用一样(因为惯性质量等于引力质量,所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样).且不管产生这种引力的原因,从效果上没有任何理由阻止我们认为存在真实的引力场和是一个和惯性系等价的没有加速度的参照系.参照系和在物理上完全等价的假设是爱因斯坦提出来的,称为等效原理.等效原理使惯性系和非惯性系(相对惯性系加速的参照系)完全平等起来,参照系都是一样的.质点在不同参照系有不同的行为,只是因为不同参照系引力场的强度不同.注意,引力场的强度不同"引力场是一种客观存在;相矛盾.我们仍然可以认为引力场是一种与参照系无关的客观存在;但它在不同的参照系种表现出不同的强度.在狭义相对论中,但在不同惯性系却可以表现出不同的长度.我们将稍后再讨论引力场和空间几何的关系,以及为什么会出现引力场.显然不是所有引力场都可以通过简单的加速参照系变换来抵消.例如没有一个加速参照系能看到完全为零的地球引力(习题【3.1】).引力和加速度的等效性是局域的.爱因斯坦假设,在质点所在的无穷小空间邻域中,引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉,固定在该质点上的参照系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系,狭义相对论成立.等效原理,(1)均匀引力场等效于一个加速参照系中的惯性力场:(2)固定在自由落体上的参照系是一个局域惯性系.3.2 弯曲空间◆爱因斯坦转盘在惯性系中制备的一些相同的尺子(每把尺的长度为米);分别沿半径和圆周摆放.设圆盘相对地面静止时需要用把尺子摆满半径,周长和半径之比为(3.5)当圆盘以角速度转动时,圆周处的线速度为.因为转盘是一非惯性参照系,我们现在还不知道非惯性参照系的时空几何学和其他所有自然定律,只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律.根据狭义相对论(参见第二章例2-2),在地面惯性系中测得圆周上的尺子长度为(3.6)因此转动圆盘上的人需要多一些尺子才能摆满圆周,1)仍然采用地面惯性系的长度标准:以不转动的尺子为长度单位,越慢.和前面关于尺子和长度测量的讨论相似,转盘上的观察者可以自然地认为时钟的时间单位(比如一个时钟周期)没有变,但转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的变慢了.■在转盘上引入非欧几何不是必须的,一切时间和尺度都可以用惯性系中的时间和尺度,空间几何以惯性系的欧几里德几何为准,即和上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位.但是等效原理告诉我们,圆盘的加速运动等效于引力场.因此引力场同样可以使空间变成非欧几里德空间.存在不能通过参照系变换使之处处为零的引力场,它的效应不能通过参照系变换从全空间消除掉,故对这样的引力场非欧几里德几何是必须的.为了容易想象弯曲空间,我们假设空间是二维的.图3-2是弯曲空间的一个例子.把曲面镶嵌在高维欧几里德空间,用高维空间(三维空间)的笛卡儿坐标描写曲面是可以的.但高斯提出一种更漂亮的描写方法,即在曲面上直接建立曲线坐标.高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何,类似于广义相对论只在一个参照系描写空间结构(和物理规律),优越性是明显的.AA MB B我们所讨论的曲面假定是连续可微的,每一点附近的小邻域可以用一平面(图3-3b中的M)近似.在数学上这种曲面称为二维微分流形.图3-2a的苹果如果没有破皮,可以把流形想象为一个局部光滑的空间,空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间.这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标,为流形的维数.对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念,无穷小距离平方定义为(3.8)对笛卡儿坐标作任意连续可微变换(3.9)代入(3.8)得维流形的间隔平方可写成(3.10)其中函数由流形的几何性质和所选坐标架所决定,流形便有确定的形状和距离的概念,即确定流形的度量性质.具有度规的流形称为黎曼流形.◆例3-1 求球面流形的度规.【解】采用球坐标,设球的半径为.易见(例3.1)所以,(例3.2)■物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质.观察者在引力场中作自由落体运动,他附近的小邻域里不存在引力场.因此总能将时空流形的一个小邻域当作欧几里德区域,在那里建立惯性参照系(自由落体参照系),与局域惯性系的选择无关.按照度规的定义,在任意连续可微坐标变换下亦也不变(习题【3.2】).任意物理的参照系变换都可以用连续可微坐标变换给出,所以在任意局域参照系变换中不变.这些变换可以是非线性的,非均匀的.局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的,不同的几何由不同的度规张量场表现出来(所谓张量场就是给每点都指定一个度规张量).度规场反映了参照系的不同选择,也反映了空间的几何结构.最简单的度规矩阵为单位矩阵,参照系为局域惯性系,在其适用的局域范围内引力场强度为零.经非线性坐标变换后,它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度.因此是和引力场相联系的.曲面的整体拓扑性质也是很有趣的.存在非平庸拓扑的曲面,它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的.球面就是一个非平庸拓扑的曲面.相反,圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的.根据引力和几何的关系,则空间必须存在引力场,如果空间拓扑和圆柱面一样;则整个空间原则上(数学上)可以没有引力场.3.3 弯曲空间的矢量分析(1)张量的定义考虑一般坐标变换(3.13)无限小位移在一般坐标变换下如下式变换,即度规张量是对称的.■度规矩阵的逆矩阵由下式定义,故称为反变度规张量.易见它也是对称的.有了协变和反变度规张量,我们可以把反变矢量(指标)和协变矢量(指标)一一对应起来,一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示,分别称为矢量的两个表象,我们把(3.25)式中的和看作同一个矢量的两种表示.(3)不变体积微元度规矩阵的行列式记为.可证,(3.27)其中是从坐标变到坐标的雅戈比行列式,为列指标.雅戈比行列式也出现在体积微元的变换中,称为不变体积微元.(3.30)(4)矢量平行移动与仿射联络如何比较空间不同点的两个矢量呢 这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的,把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置:再按平行四边形法则求他们的差.因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间,故所谓矢量的平行移动,可以理解为矢量各个分量保持不变的移动.但在弯曲空间,不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念.为了确定不同点的矢量平行与否,必须规定一种平行移动的法则.图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络.图3-4(a)中,一个与球面切于北极(a)点的矢量沿大弧abc移动,在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc相切的特征.可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动.再看图3-4(b),在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc的切线正交的特征.可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动.但是我们看到两个过程在南极c点产生的矢量是不同的.可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行.但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的.粗略地说,仿射联络是一种平行移动的法则,矢量按此法则沿一条曲线移动时方向不改变.a ab dc c在无限小的区域,矢量的无限小平行移动由初始矢量和位移矢量所确定.示意于图3-5.考虑处一反变矢量,利用处坐标架的单位方向矢量可把矢量可写成(3.31)矢量被平行移动到处,成为该处的一个反变矢量.(3.32)把平行移动引起的矢量分量的变化写成(3.33)则(3.34)其中带有三个指标的函数称为仿射联络(克里斯托菲(Christoffel)符号).矢量必须象矢量一样变换,经过任意变换后这种对称性仍然保持.对平直的欧几里德空间,所以对其下标一定是对称的.我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似,故只需考虑的情形(数学上称为无挠性).物理时空是有距离概念的,矢量方向和大小都不变.例如图3-6a中的矢量沿路径ABCA平行移动一周.在弯曲空间,矢量沿回路(图中的ABCA)平行移动一周后,和原来出发时的矢量不一样.这是空间弯与不弯的根本差别.考虑弯曲空间的一个无限小平行四边形,一反变矢量沿四边形边界平行移动一周.如图3-7.可以证明,矢量的改变量为(3.46)推广到任意回路,矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积,其比例系数称为四阶黎曼曲率张量,(3.48)空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式,得到一个二阶里兹(Ricci)张量(3.50)总曲率(标量)等于里兹张量的缩并(先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来)(3.51)◆例3-2 在半径为的球面上,采用球坐标和.度规张量已在例3.1中给出.求仿射联络和曲率标量.【解】仿射联络的非零分量有:(例3.3)曲率标量为(例3.4)■3.4 短程线以上3.2和3.3节基本上是数学内容.现在回到物理问题,在引力作用下质点的运动.根据爱因斯坦的设想:不受其它力作用的质点)的运动便由空间的几何完全确定了.先介绍可以通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线.给定一个初始位置和一个初始速度,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线.如(图3-8),(1)从A点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B,(2)沿速度方向将A点的速度矢量平行移动到B点;得到B点的速度矢量,如此类推便可得到整条曲线(图3-8).这样通过空间几何(由仿射联络给定)自然定义的曲线称为短程线.ABC …A;则四维速度矢量作平行移动.可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量(同一个矢量放在时空不同的位置可以有不同的分量,因为坐标架变了).这种运动相当于平坦空间的惯性运动.作为伽利略惯性定律的自然推广:自由落体沿短程线运动.按照这一假说,质点作自由落体运动位移无限小距离之后,速度分量的改变等于速度矢量平行移动同样距离的分量变化.在(3.33)中取为四维速度,即仅受引力作用的质点运动方程,原时取极值的路径所满足的方程(3.54)可以通过变分方法求得(3.55)因为光速是最高速度,质点的初始四维速度矢量是类时的,原时都是正的.3.5 爱因斯坦引力场方程引力就是空间的弯曲.而空间的弯曲由度规场描写,物理学方程在所有参照系中形式不变,3. 在弱引力低速运动的情形回复到牛顿引力理论.回忆牛顿引力理论:放在原点质量为的质点在产生的引力势(第一章(1.31)式)(3.56)此式和点电荷产生的库仑势比较;数学形式是一样的.质量对应于电荷,事实上因为协变导数中除了普通导数外还有仿射联络项,物质能量-动量并不严格守恒.能量-动量可以在物质和引力场之间交换.让出现在场方程的右边,它的协变微分等于零.这个张量只能含有度规的二阶偏导数.爱因斯坦找到这个张量,(3.60)可以证明它的协变微分等于零.把它和能量动量密度张量联系起来,得到著名的爱因斯坦广义相对论引力场方程(3.61)为牛顿引力常数.右边系数的选择使得方程在弱引力场和缓变近似下回复到牛顿引力理论(附录3-2).爱因斯坦最早写出的方程还多出一项,为宇宙常数.宇宙项不违反上述对场方程的一般性要求,也没有物理上的理由排除它.爱因斯坦当年希望得到一个宇宙的稳态解,宇宙常数很可能不等于零,不过它只在非常大的宇宙尺度引起物理效应.注意,能量-动量密度张量不包含引力的贡献.在所谓真空(除引力场无其他物质)中,场方程(3.61)成为(3.63)这是关于引力场的非线性二阶偏微分方程.真空场方程除了平庸的平坦空间解外,

4.爱因斯坦相对论公式是啥?

这个是爱因斯坦场方程的分量形式，图片中显示的是含宇宙学常数的场方程，方程左端Gμν是爱因斯坦张量分量，其中Rμν是里奇张量分量，是黎曼曲率张量Rabcd上升一或四指标后上标与第一或第二下标缩并的结果，升指标黎曼曲率张量与协变矢量的内积是协变矢量两次协变导数交换顺序后相减；gμν是度规张量分量也是方程的待求量，R是里奇标量，是逆变度规张量与里奇张量的内积方程右端G是万有引力常数。

5.请问一下这是爱因斯坦的广义相对论公式吗？这是变形式？

是的，这个是爱因斯坦场方程的分量形式，是广义相对论的核心方程。图片中显示的是含宇宙学常数的场方程，方程左端Gμν是爱因斯坦张量分量，等于Rμν-0.5gμνR，其中Rμν是里奇张量分量，是黎曼曲率张量Rabcd上升一或四指标后上标与第一或第二下标缩并的结果，升指标黎曼曲率张量与协变矢量的内积是协变矢量两次协变导数交换顺序后相减；gμν是度规张量分量也是方程的待求量，是所选坐标系基矢的内积；R是里奇标量，是逆变度规张量与里奇张量的内积方程右端G是万有引力常数，Tμν是能动张量分量，其一般形式为ρUaUb+p（gab+UaUb），其中ρ是密度场，Ua是度规降指标的四速场，p是压强场；ρΛ是宇宙学常数，量纲与压强一致，实际上一个正的宇宙学常数相当于引入负压强的物质。

6.广义相对论的那个公式表示什么意思

这个方程叫做爱因斯坦引力场方程，是一个二阶偏微分张量方程。这里的下标uv应该是希腊字母μν，是因为里奇张量Rab中包含度规gab的二阶导数，Ruv表示里奇张量分量，里奇张量是黎曼曲率张量的上标和第一下标或第二下标缩并后的结果，黎曼曲率张量和协变矢量的内积是协变矢量的两次协变导数交换顺序后相减；R是里奇标量，是度规张量与里奇张量的内积；是某个坐标系协变基矢的内积，是这个方程的待求量。方程右端，其中ρ是密度场。Ua是度规降指标的四速场，实物粒子的特点是P远小于ρ，即Tab物=ρ物UaUb，该方程表达的物理意义就是物质的分布和运动状况（Tab）影响时空结构（gab）。

7.怎样理解广义相对论公式

广义相对论公式主要是引力场方程。引力场方程是一个2阶非线性偏微分张量方程组，式中Rab是里奇张量，即黎曼曲率张量的上标和第二或第三下标缩并后的张量，黎曼曲率张量分量与协变矢量的内积是协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果。gab是度规张量，是该方程的待求量，其在某个坐标系的分量是该坐标系基矢量的内积。R是曲率标量，是度规张量逆变分量与里奇张量的内积。Tab是能动张量，式中ρ是密度场，Rab中包含度规张量的一阶导数和二阶导数，对度规的二阶导是线性依赖的。故该方程为2阶非线性。该方程推导类似薛定谔方程之类的半猜性质的推导，方程左端应该是时空项，方程右端应该是物质项能动张量Tab，然后由能量守恒和动量守恒要求Tab的协变散度恒为0，由角动量守恒要求Tab=Tba，因此方程左端张量的协变散度也应为0，经过初期的一些弯路后（比如爱因斯坦最开始把Rab当做是左端张量，实际上由于Rab代表引力场其散度不为0，场方程也可以通过变分法求得，思路是引力场的分布趋向于使该时空下的曲面面积极小。即等价于2维最小曲面方程。

8.广义相对论的数学公式有哪些

式中Rab叫做里奇张量，为上升第四指标的黎曼曲率张量上标和第一或第二下标缩并后的结果。协变矢量两次协变导数交换顺序相减后的结果是黎曼曲率张量和协变矢量的内积。gab叫做度规张量是该方程的待求量。